原群(英語:Magma)是抽象代數领域中一種基本代數結構。原群定义为一個集合和这个集合上满足(封閉性)的一个二元運算,即:对于集合和上的一个二元运算,若满足中的任意两个元素经过作用,得到的结果仍在中,则称它们构成一个原群,记作。
類型
類似群的結構 | ||||
(完全性) | 結合律 | 單位元 | 除法 | |
---|---|---|---|---|
群 | 是 | 是 | 是 | 是 |
幺半群 | 是 | 是 | 是 | 否 |
(半群) | 是 | 是 | 否 | 否 |
(環群) | 是 | 否 | 是 | 是 |
(擬群) | 是 | 否 | 否 | 是 |
原群 | 是 | 否 | 否 | 否 |
(廣群) | 否 | 是 | 是 | 是 |
範疇 | 否 | 是 | 是 | 否 |
通常,人们不研究原群,而是研究对原群添加约束而引申的各类群,包括:
- (擬群)-總是可能的非空原群;
- (環群)-有單位元的擬群;
- (半群)-運算為可結合的原群;
- (幺半群)-有單位元的半群;
- 群-有(逆元)的幺半群,或等價地說,可結合的環群;
- 阿貝爾群-運算為可交換的群。
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原群的態射
原群的態射是一個函數 ,將原群 M 映射至原群 N 上,並保留其二元運算:
其中的 和
分別代表著在 M 和 N 上的二元運算。
自由原群
在一集合 X 上的自由原群 是指由集合 X 產生出的「最一般可能的」自由原群(並沒有任何的關係或公理在產生子上;詳見(自由對象))。自由原群可以用計算機科學中熟悉的詞彙來描述,如同其樹葉被 X 內的元素標示的(二元樹)的原群,其運算是將樹在樹根上連結。因此,自由原群在句法學中有著很基本的重要性。
自由原群有個泛性質,其內容為:若 是一個從集合 X 映射至任一原群 N 的函數,則會存在唯一一個
至原群態射
的擴張。其中,
另見
- (自由群)
參考文獻
- M. Hazewinkel, Magma, Hazewinkel, Michiel (编), (数学百科全书), , 2001,
- M. Hazewinkel, Free magma, Hazewinkel, Michiel (编), (数学百科全书), , 2001,
- (埃里克·韦斯坦因). Groupoid. (MathWorld).
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