在数学分析中 常微分方程 英語 ordinary differential equation 簡稱ODE 是未知函数只含有一个自变量的微分方程 对于微积分的基本概念 请参见微积分 微分学 积分学等条目 很多科学问题都可以表示为常微分方程 例如根据牛顿第二运动定律 物体在力的作用下的位移 s displaystyle s 和时间 t displaystyle t 的关系就可以表示为如下常微分方程 md2sdt2 f s displaystyle m frac mathrm d 2 s mathrm d t 2 f s 其中 m displaystyle m 是物体的质量 f s displaystyle f s 是物体所受的力 是位移的函数 所要求解的未知函数是位移 s displaystyle s 它只以时间 t displaystyle t 为自变量 精确解总结一些微分方程有精确封闭形式的解 这里给出几个重要的类型 在下表中 P x Q x P y Q y displaystyle P x Q x P y Q y 和M x y N x y displaystyle M x y N x y 是任意关于x y displaystyle x y 的可积函数 b c displaystyle b c 是给定的实常数 C C1 C2 displaystyle C C 1 C 2 ldots 是任意常数 一般为复数 这些微分方程的等价或替代形式通过积分可以得到解 在积分解中 l displaystyle lambda 和 ϵ displaystyle epsilon 是积分变量 求和下标的连续形式 记号 xF l dl displaystyle int x F lambda mathrm d lambda 只表示F l displaystyle F lambda 对l displaystyle lambda 积分 在积分以后l x displaystyle lambda x 替换 无需加常数 明确说明 微分方程 解法 通解可分离方程一阶 变量 x displaystyle x 和 y displaystyle y 均可分离 一般情况 下面有特殊情况 P1 x Q1 y P2 x Q2 y dydx 0 displaystyle P 1 x Q 1 y P 2 x Q 2 y frac mathrm d y mathrm d x 0 P1 x Q1 y dx P2 x Q2 y dy 0 displaystyle P 1 x Q 1 y mathrm d x P 2 x Q 2 y mathrm d y 0 分离变量 除以P2Q1 displaystyle P 2 Q 1 xP1 l P2 l dl yQ2 l Q1 l dl C displaystyle int x frac P 1 lambda P 2 lambda mathrm d lambda int y frac Q 2 lambda Q 1 lambda mathrm d lambda C 一阶 变量 x displaystyle x 可分离 dydx F x displaystyle frac mathrm d y mathrm d x F x dy F x dx displaystyle mathrm d y F x mathrm d x 直接积分 y xF l dl C displaystyle y int x F lambda mathrm d lambda C 一阶自治 变量 y displaystyle y 可分离 dydx F y displaystyle frac mathrm d y mathrm d x F y dy F y dx displaystyle mathrm d y F y mathrm d x 分离变量 除以 F displaystyle F x ydlF l C displaystyle x int y frac mathrm d lambda F lambda C 一阶 变量 x displaystyle x 和 y displaystyle y 均可分离 P y dydx Q x 0 displaystyle P y frac mathrm d y mathrm d x Q x 0 P y dy Q x dx 0 displaystyle P y mathrm d y Q x mathrm d x 0 整个积分 yP l dl xQ l dl C displaystyle int y P lambda mathrm d lambda int x Q lambda mathrm d lambda C 一般一阶微分方程一阶 齐次 dydx F yx displaystyle frac mathrm d y mathrm d x F left frac y x right 令 y ux displaystyle y ux 然后通过分离变量 u displaystyle u 和 x displaystyle x 求解 ln Cx yxdlF l l displaystyle ln Cx int frac y x frac mathrm d lambda F lambda lambda 一阶 可分离变量 yM xy xN xy dydx 0 displaystyle yM xy xN xy frac mathrm d y mathrm d x 0 yM xy dx xN xy dy 0 displaystyle yM xy mathrm d x xN xy mathrm d y 0 分离变量 除以 xy displaystyle xy ln Cx xyN l dll N l M l displaystyle ln Cx int xy frac N lambda mathrm d lambda lambda N lambda M lambda 如果N M displaystyle N M 解为xy C displaystyle xy C 正合微分 一阶 M x y dydx N x y 0 displaystyle M x y frac mathrm d y mathrm d x N x y 0 M x y dy N x y dx 0 displaystyle M x y mathrm d y N x y mathrm d x 0 其中 M x N y displaystyle frac partial M partial x frac partial N partial y 全部積分 F x y yM x l dl xN l y dl Y y X x C displaystyle begin aligned F x y amp int y M x lambda mathrm d lambda int x N lambda y mathrm d lambda amp Y y X x C end aligned 其中 Y y displaystyle Y y 和 X x displaystyle X x 是积分出来的函数而不是常数 将它们列在这里以使最终函数 F x y displaystyle F x y 满足初始条件 英语 Inexact differential equation 一阶 M x y dydx N x y 0 displaystyle M x y frac mathrm d y mathrm d x N x y 0 M x y dy N x y dx 0 displaystyle M x y mathrm d y N x y mathrm d x 0 其中 M x N y displaystyle frac partial M partial x neq frac partial N partial y 积分因子 m x y displaystyle mu x y 满足 mM x mN y displaystyle frac partial mu M partial x frac partial mu N partial y 如果可以得到 m x y displaystyle mu x y F x y ym x l M x l dl xm l y N l y dl Y y X x C displaystyle begin aligned F x y amp int y mu x lambda M x lambda mathrm d lambda int x mu lambda y N lambda y mathrm d lambda amp Y y X x C end aligned 一般二阶微分方程二阶 自治 d2ydx2 F y displaystyle frac mathrm d 2 y mathrm d x 2 F y 原方程乘以 2dydx displaystyle frac 2 mathrm d y mathrm d x 代换2dydxd2ydx2 ddx dydx 2 displaystyle 2 frac mathrm d y mathrm d x frac mathrm d 2 y dx 2 frac mathrm d mathrm d x left frac mathrm d y mathrm d x right 2 然后两次积分 x ydl2 lF ϵ dϵ C1 C2 displaystyle x pm int y frac mathrm d lambda sqrt 2 int lambda F epsilon mathrm d epsilon C 1 C 2 线性方程 最高到n displaystyle n 阶 一阶线性 非齐次的函数系数 dydx P x y Q x displaystyle frac mathrm d y mathrm d x P x y Q x 积分因子 e xP l dl displaystyle e int x P lambda d lambda y e xP l dl xe lP ϵ dϵQ l dl C displaystyle y e int x P lambda mathrm d lambda left int x e int lambda P epsilon mathrm d epsilon Q lambda mathrm d lambda C right 二阶线性 非齐次的常系数 d2ydx2 bdydx cy r x displaystyle frac mathrm d 2 y mathrm d x 2 b frac mathrm d y mathrm d x cy r x 余函数 yc displaystyle y c 设 yc eax displaystyle y c mathrm e alpha x 代换并解出 a displaystyle alpha 中的多项式 求出线性无关函数 eajx displaystyle e alpha j x 特解 yp displaystyle y p 一般运用 英语 method of variation of parameters 虽然对于非常容易的 r x displaystyle r x 可以直观判断 y yc yp displaystyle y y c y p 如果 b2 gt 4c displaystyle b 2 gt 4c 则 yc C1e b b2 4c x2 C2e b b2 4c x2 displaystyle y c C 1 e left b sqrt b 2 4c right frac x 2 C 2 e left b sqrt b 2 4c right frac x 2 如果 b2 4c displaystyle b 2 4c 则 yc C1x C2 e bx2 displaystyle y c C 1 x C 2 e frac bx 2 如果 b2 lt 4c displaystyle b 2 lt 4c 则 yc e bx2 C1sin b2 4c x2 C2cos b2 4c x2 displaystyle y c e frac bx 2 left C 1 sin left sqrt left b 2 4c right frac x 2 right C 2 cos left sqrt left b 2 4c right frac x 2 right right n displaystyle n 阶线性 非齐次常系数 j 0nbjdjydxj r x displaystyle sum j 0 n b j frac mathrm d j y mathrm d x j r x 余函数 yc displaystyle y c 设 yc eax displaystyle y c mathrm e alpha x 代换并解出 a displaystyle alpha 中的多项式 求出线性无关函数 eajx displaystyle e alpha j x 特解 yp displaystyle y p 一般运用 英语 method of variation of parameters 虽然对于非常容易的 r x displaystyle r x 可以直观判断 y yc yp displaystyle y y c y p 由于 aj displaystyle alpha j 为 n displaystyle n 阶多项式的解 j 1n a aj 0 displaystyle prod j 1 n left alpha alpha j right 0 于是 对于各不相同的 aj displaystyle alpha j yc j 1nCjeajx displaystyle y c sum j 1 n C j e alpha j x 每个根 aj displaystyle alpha j 重复 kj displaystyle k j 次 yc j 1n ℓ 1kjCℓxℓ 1 eajx displaystyle y c sum j 1 n left sum ell 1 k j C ell x ell 1 right e alpha j x 对于一些复数值的 aj 令 a xj igj 使用欧拉公式 前面结果中的一些项就可以写成 Cjeajx Cjexjxcos gjx ϕj displaystyle C j e alpha j x C j e chi j x cos gamma j x phi j 的形式 其中 ϕj 为任意常量 相移 参见微分方程 偏微分方程参考资料Mathematical Handbook of Formulas and Tables 3rd edition S Lipschutz M R Spiegel J Liu Schuam s Outline Series 2009 ISC 2N 978 0 07 154855 7 Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 4th Edition W E Boyce R C Diprima Wiley International John Wiley amp Sons 1986 ISBN 0 471 83824 1 Further Elementary Analysis R Porter G Bell amp Sons London 1978 ISBN 0 7135 1594 5 Mathematical methods for physics and engineering K F Riley M P Hobson S J Bence Cambridge University Press 2010 ISC 2N 978 0 521 86153 3