此條目没有列出任何参考或来源 2009年7月21日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 直線 是一個點在平面或空間沿著一定方向和其相反方向運動的軌跡 是不彎曲的線 直線是幾何學的基本概念 在不同的幾何學體系中有著不同的描述 在這裡主要描述歐幾里得空間中的直線 其他曲率非零狀況下的直線 請參考非歐幾里得幾何 三条直线 紅線與藍線有相同的斜率 紅線與綠線有相同的y 截距 歐幾里得幾何研究曲率為零的空間下狀況 它並未對點 直線 平面 空間給出定義 而是通過公理來描述點線面的關係 歐幾里得幾何中的直線可以看作是一個點的集合 這個集合中的任意一點都在這個集合中的其他任意兩點所確定的直綫上 過兩點有且只有一條直線 是歐幾里得幾何體系中的一條公理 有且只有 意即 確定 即兩點確定一直線 在幾何學中 直線沒有粗細 沒有端點 沒有方向性 具有無限的長度 具有固定的位置 線性方程在解析幾何中 我們常用線性方程描述一條直線 二維直角坐標系方程 平行於x 或y 軸 最簡單的直線方程是平行於x 軸或y 軸的直線 x a displaystyle x a 或 y b displaystyle y b 當中 a displaystyle a 和 b displaystyle b 分別是x 和y 截距 一般式 對於所有的直線 都可以形式 Ax By C 0 displaystyle Ax By C 0 來表示 這表示示形式並不是唯一的 但習慣上常限制 A 0 displaystyle A geq 0 及 gcd A B C 1 displaystyle gcd A B C 1 在此限制下 同一條直線只有一種表達形式 在這形式下 直線的斜率是 AB displaystyle frac A B x 截距是 CA displaystyle frac C A y 截距是 CB displaystyle frac C B 斜截式 在直線不平行於y 軸時 若斜率是 m displaystyle m y 截距是 b displaystyle b 則有方程 y mx b displaystyle y mx b 在這形式下 直線的表達形式是唯一的 二點式 若直線穿過兩點 x1 y1 displaystyle x 1 y 1 和 x2 y2 displaystyle x 2 y 2 則有方程 x x1x2 x1 y y1y2 y1 displaystyle frac x x 1 x 2 x 1 frac y y 1 y 2 y 1 等價地 可以用行列式 xy1x1y11x2y21 0 displaystyle begin vmatrix x amp y amp 1 x 1 amp y 1 amp 1 x 2 amp y 2 amp 1 end vmatrix 0 表示 點斜式 若直線穿過一點 x0 y0 displaystyle x 0 y 0 而且斜率是 m displaystyle m 則有方程 y y0 m x x0 displaystyle y y 0 m x x 0 截距式 若直線的x 和y 截距分別是 a displaystyle a 和 b displaystyle b 則方程為 xa yb 1 displaystyle x over a y over b 1 法線式 過原點向直線作一垂直線段 若該線長度為 p displaystyle p 且與正x 軸的傾斜角為 a displaystyle alpha 則有方程 xcos a ysin a p 0 displaystyle x cos alpha y sin alpha p 0 向量式 若直線穿過一點 a x0y0 displaystyle mathbf a begin bmatrix x 0 y 0 end bmatrix 且有方向向量 u uxuy displaystyle mathbf u begin bmatrix u x u y end bmatrix 則有向量方程 r a lu displaystyle mathbf r mathbf a lambda mathbf u 當中 r xy displaystyle mathbf r begin bmatrix x y end bmatrix 而 l displaystyle lambda 是一任意實數 須要注意的是 這直線的表達形式並不是唯一的 參數式 從向量式出發 可以參數 l displaystyle lambda 表示方程 x x0 uxly y0 uyl displaystyle begin alignedat 5 x amp amp amp amp x 0 amp amp amp amp u x lambda amp y amp amp amp amp y 0 amp amp amp amp u y lambda end alignedat 其中 l displaystyle lambda 是一任意實數 三維直角坐標系方程 在三維坐標上 由於一條等式只代表一個平面 一條直線須由最少兩條等式定義 平行於x y 或z 軸 平行於x y 或z 軸的直線有方程 y bz c displaystyle begin alignedat 3 y amp amp amp amp b amp z amp amp amp amp c end alignedat x az c displaystyle begin alignedat 3 x amp amp amp amp a amp z amp amp amp amp c end alignedat 或 x ay b displaystyle begin alignedat 3 x amp amp amp amp a amp y amp amp amp amp b end alignedat 的形式 一般式 對於任何直線 一般式都能以兩個非平行平面定義 A1x B1y C1z D1 0A2x B2y C2z D2 0 displaystyle begin alignedat 9 A 1 x amp amp amp amp B 1 y amp amp amp amp C 1 z amp amp amp amp D 1 amp amp amp amp 0 amp A 2 x amp amp amp amp B 2 y amp amp amp amp C 2 z amp amp amp amp D 2 amp amp amp amp 0 end alignedat 其中 A1 B1 C1 A2 B2 C2 displaystyle A 1 B 1 C 1 neq A 2 B 2 C 2 由於從一條直線可引申出無限對平面 這表示方式並不是唯一的 因此又能考慮以三個共線平面定義 Ax By D 0Cy Az E 0Bz Cx F 0 displaystyle begin alignedat 7 Ax amp amp amp amp By amp amp amp amp D amp amp amp amp 0 amp Cy amp amp amp amp Az amp amp amp amp E amp amp amp amp 0 amp Bz amp amp amp amp Cx amp amp amp amp F amp amp amp amp 0 end alignedat 或合併記作 Ax By D Cy Az E Bz Cx F 0 displaystyle Ax By D Cy Az E Bz Cx F 0 其中係數須乎合關係 AF BE CD 0 displaystyle AF BE CD 0 以保證三個平面相交於同一直線 事實上 這三條等式分別對應著直線在xy yz 和xz 平面的投影 在限制 A 0 displaystyle A geq 0 及 gcd A B C D E F 1 displaystyle gcd A B C D E F 1 下 同一條直線只有一種表達形式 注 對於平行於軸平面的直線 例如 2y 3z 1 x 1 0 displaystyle 2y 3z 1 x 1 0 會有以下表示方式 3x 3 02y 3z 1 0 2x 2 0 displaystyle begin alignedat 7 3x amp amp amp amp amp amp amp amp 3 amp amp amp amp 0 2y amp amp amp amp 3z amp amp amp amp 1 amp amp amp amp 0 amp amp amp amp 2x amp amp amp amp 2 amp amp amp amp 0 end alignedat 對於定義一條直線 這步驟是非必要的 但在本頁往後的部份 這表示方式能簡化一些公式 斜截式 類似於二維的情形 在直線不平行於yz 軸平面時 可以寫成 y mx bz nx c displaystyle begin alignedat 5 y amp amp amp amp mx amp amp amp amp b z amp amp amp amp nx amp amp amp amp c end alignedat 的形式 在這形式下 直線的表達形式是唯一的 注 對於直線平行於yz 平面時 以上方式並不適用 但直線仍可表示成 x az ny c displaystyle begin alignedat 2 x amp a z amp ny c end alignedat 二點式 若直線穿過兩點 x1 y1 z1 displaystyle x 1 y 1 z 1 和 x2 y2 z2 displaystyle x 2 y 2 z 2 則有方程 x x1x2 x1 y y1y2 y1 z z1z2 z1 displaystyle frac x x 1 x 2 x 1 frac y y 1 y 2 y 1 frac z z 1 z 2 z 1 等價地 可以用行列式 xy1x1y11x2y21 yz1y1z11y2z21 zx1z1x11z2x21 0 displaystyle begin vmatrix x amp y amp 1 x 1 amp y 1 amp 1 x 2 amp y 2 amp 1 end vmatrix begin vmatrix y amp z amp 1 y 1 amp z 1 amp 1 y 2 amp z 2 amp 1 end vmatrix begin vmatrix z amp x amp 1 z 1 amp x 1 amp 1 z 2 amp x 2 amp 1 end vmatrix 0 表示 向量式 若直線穿過一點 a x0y0z0 displaystyle mathbf a begin bmatrix x 0 y 0 z 0 end bmatrix 且有方向向量 u uxuyuz displaystyle mathbf u begin bmatrix u x u y u z end bmatrix 則有向量方程 r a lu displaystyle mathbf r mathbf a lambda mathbf u 當中 r xyz displaystyle mathbf r begin bmatrix x y z end bmatrix 而 l displaystyle lambda 是一任意實數 須要注意的是 這直線的表達形式並不是唯一的 參數式 從向量式出發 可以參數 l displaystyle lambda 表示方程 x x0 uxly y0 uylz z0 uzl displaystyle begin alignedat 5 x amp amp amp amp x 0 amp amp amp amp u x lambda amp y amp amp amp amp y 0 amp amp amp amp u y lambda amp z amp amp amp amp z 0 amp amp amp amp u z lambda end alignedat 其中 l displaystyle lambda 是一任意實數 直線與解析幾何點與直線的距離 一般情況下 點與直线的距离 是指點到直線的最短距離 即垂直距離 在二維直角坐標中 直線 Ax By C 0 displaystyle Ax By C 0 與點 p q displaystyle p q 的最短距離為 d Ap Bq C A2 B2 displaystyle d frac left Ap Bq C right sqrt A 2 B 2 給出向量式 r a lu displaystyle mathbf r mathbf a lambda mathbf u 和 點 p pq displaystyle mathbf p begin bmatrix p q end bmatrix 則有距離 d a p u u displaystyle d frac left mathbf a mathbf p times mathbf u right left mathbf u right 在三維直角坐標中 直線 Ax By D 0Cy Az E 0Bz Cx F 0 displaystyle begin alignedat 7 Ax amp amp amp amp By amp amp amp amp D amp amp amp amp 0 amp Cy amp amp amp amp Az amp amp amp amp E amp amp amp amp 0 amp Bz amp amp amp amp Cx amp amp amp amp F amp amp amp amp 0 end alignedat 與點 p q r displaystyle p q r 的最短距離為 d Ap Bq D 2 Cq Ar E 2 Br Cp F 2A2 B2 C2 displaystyle d sqrt frac Ap Bq D 2 Cq Ar E 2 Br Cp F 2 A 2 B 2 C 2 給出向量式 r a lu displaystyle mathbf r mathbf a lambda mathbf u 和點 p pqr displaystyle mathbf p begin bmatrix p q r end bmatrix 則有距離 d a p u u displaystyle d frac left mathbf a mathbf p times mathbf u right left mathbf u right 两条相交直线的相交點 不考慮重合的情形 在二維平面中 兩條相交直線可以相交或平行 給定兩條直线 A1x B1y C1 0 displaystyle A 1 x B 1 y C 1 0 和 A2x B2y C2 0 displaystyle A 2 x B 2 y C 2 0 二者相交的條件是 A1 B1 A2 B2 displaystyle A 1 B 1 neq A 2 B 2 或等價地 A1B1A2B2 0 displaystyle begin vmatrix A 1 amp B 1 A 2 amp B 2 end vmatrix neq 0 當中 abcd ad bc displaystyle begin vmatrix a amp b c amp d end vmatrix ad bc 這時兩線的相交點可從克萊姆法則求得 x C1B1C2B2 A1B1A2B2 displaystyle x frac begin vmatrix C 1 amp B 1 C 2 amp B 2 end vmatrix begin vmatrix A 1 amp B 1 A 2 amp B 2 end vmatrix y A1C1A2C2 A1B1A2B2 displaystyle y frac begin vmatrix A 1 amp C 1 A 2 amp C 2 end vmatrix begin vmatrix A 1 amp B 1 A 2 amp B 2 end vmatrix 在三維空間中 不考慮重合的情形 兩條直線可以相交 平行或歪斜 異面 給定兩條直线 A1x B1y D1 0C1y A1z E1 0B1z C1x F1 0 displaystyle begin alignedat 7 A 1 x amp amp amp amp B 1 y amp amp amp amp D 1 amp amp amp amp 0 amp C 1 y amp amp amp amp A 1 z amp amp amp amp E 1 amp amp amp amp 0 amp B 1 z amp amp amp amp C 1 x amp amp amp amp F 1 amp amp amp amp 0 end alignedat 及 A2x B2y D2 0C2y A2z E2 0B2z C2x F2 0 displaystyle begin alignedat 7 A 2 x amp amp amp amp B 2 y amp amp amp amp D 2 amp amp amp amp 0 amp C 2 y amp amp amp amp A 2 z amp amp amp amp E 2 amp amp amp amp 0 amp B 2 z amp amp amp amp C 2 x amp amp amp amp F 2 amp amp amp amp 0 end alignedat 二者相交的條件是 A1B1A2B2 displaystyle begin vmatrix A 1 amp B 1 A 2 amp B 2 end vmatrix B1C1B2C2 displaystyle begin vmatrix B 1 amp C 1 B 2 amp C 2 end vmatrix 及 C1A1C2A2 displaystyle begin vmatrix C 1 amp A 1 C 2 amp A 2 end vmatrix 不全為 0 displaystyle 0 且A1F2 A2F1 B1E2 B2E1 C1D2 C2D1 0 displaystyle A 1 F 2 A 2 F 1 B 1 E 2 B 2 E 1 C 1 D 2 C 2 D 1 0 這時兩線的相交點可從克萊姆法則求得 x D1B1D2B2 A1B1A2B2 B1F1B2F2 B1C1B2C2 displaystyle x frac begin vmatrix D 1 amp B 1 D 2 amp B 2 end vmatrix begin vmatrix A 1 amp B 1 A 2 amp B 2 end vmatrix frac begin vmatrix B 1 amp F 1 B 2 amp F 2 end vmatrix begin vmatrix B 1 amp C 1 B 2 amp C 2 end vmatrix y A1D1A2D2 A1B1A2B2 E1A1E2A2 C1A1C2A2 displaystyle y frac begin vmatrix A 1 amp D 1 A 2 amp D 2 end vmatrix begin vmatrix A 1 amp B 1 A 2 amp B 2 end vmatrix frac begin vmatrix E 1 amp A 1 E 2 amp A 2 end vmatrix begin vmatrix C 1 amp A 1 C 2 amp A 2 end vmatrix z C1E1C2E2 C1A1C2A2 F1C1F2C2 B1C1B2C2 displaystyle z frac begin vmatrix C 1 amp E 1 C 2 amp E 2 end vmatrix begin vmatrix C 1 amp A 1 C 2 amp A 2 end vmatrix frac begin vmatrix F 1 amp C 1 F 2 amp C 2 end vmatrix begin vmatrix B 1 amp C 1 B 2 amp C 2 end vmatrix 两条相交直线的夹角 若兩線相交 則會形成夾角 兩線之間的夾角 通常指不大於90 的一隻 在二維平面上 給定直线 y mx b displaystyle y mx b 該線與x 軸的夾角為 tan 8 m displaystyle tan theta left m right 給定兩條直线 y m1x b1 displaystyle y m 1 x b 1 和 y m2x b2 displaystyle y m 2 x b 2 二者互相垂直當且僅當 m1m2 1 displaystyle m 1 m 2 1 而其他情況 兩線相交所形成的夾角 8 displaystyle theta 0 8 lt 90 displaystyle 0 circ leq theta lt 90 circ 則由 tan 8 m1 m21 m1m2 displaystyle tan theta left frac m 1 m 2 1 m 1 m 2 right 給出 給定相交直线向量式 r a1 lu1 displaystyle mathbf r mathbf a 1 lambda mathbf u 1 和 r a2 mu2 displaystyle mathbf r mathbf a 2 mu mathbf u 2 則有 cos 8 u1 u2 u1 u2 displaystyle cos theta frac mathbf u 1 cdot mathbf u 2 left mathbf u 1 right left mathbf u 2 right 在三維空間中 給定兩條相交直线 y m1x b1z n1x c1 displaystyle begin alignedat 5 y amp amp amp amp m 1 x amp amp amp amp b 1 z amp amp amp amp n 1 x amp amp amp amp c 1 end alignedat 和 y m2x b2z n2x c2 displaystyle begin alignedat 5 y amp amp amp amp m 2 x amp amp amp amp b 2 z amp amp amp amp n 2 x amp amp amp amp c 2 end alignedat 二者互相垂直當且僅當 m1m2 n1n2 1 displaystyle m 1 m 2 n 1 n 2 1 而其他情況 兩線相交所形成的夾角 8 displaystyle theta 0 8 lt 90 displaystyle 0 circ leq theta lt 90 circ 則由 tan 8 m1 m2 2 n1 n2 2 m1m2n1n2 2 1 m1m2 n1n2 displaystyle tan theta frac sqrt m 1 m 2 2 n 1 n 2 2 begin vmatrix m 1 amp m 2 n 1 amp n 2 end vmatrix 2 left 1 m 1 m 2 n 1 n 2 right 給出 當中 abcd ad bc displaystyle begin vmatrix a amp b c amp d end vmatrix ad bc 若取 n1 n2 0 displaystyle n 1 n 2 0 則公式退化成二維的形式 給定相交直线向量式 r a1 lu1 displaystyle mathbf r mathbf a 1 lambda mathbf u 1 和 r a2 mu2 displaystyle mathbf r mathbf a 2 mu mathbf u 2 則有 cos 8 u1 u2 u1 u2 displaystyle cos theta frac mathbf u 1 cdot mathbf u 2 left mathbf u 1 right left mathbf u 2 right 两条直线的距離 一般情況下 两条直线的距离 是指最短距離 二維情況下 两条相交直线的距离必然為 0 displaystyle 0 若有两條平行直线 Ax By C1 0 displaystyle Ax By C 1 0 及 Ax By C2 0 displaystyle Ax By C 2 0 則有距離 d C1 C2 A2 B2 displaystyle d frac left C 1 C 2 right sqrt A 2 B 2 給定平行向量式 r a1 lu displaystyle mathbf r mathbf a 1 lambda mathbf u 和 r a2 mu displaystyle mathbf r mathbf a 2 mu mathbf u 則有 d a1 a2 u u displaystyle d frac left mathbf a 1 mathbf a 2 times mathbf u right left mathbf u right 三維情況下 两条相交直线的距离同樣必然為 0 displaystyle 0 若有两條平行直线 Ax By D1 0Cy Az E1 0Bz Cx F1 0 displaystyle begin alignedat 7 Ax amp amp amp amp By amp amp amp amp D 1 amp amp amp amp 0 amp Cy amp amp amp amp Az amp amp amp amp E 1 amp amp amp amp 0 amp Bz amp amp amp amp Cx amp amp amp amp F 1 amp amp amp amp 0 end alignedat 及 Ax By D2 0Cy Az E2 0Bz Cx F2 0 displaystyle begin alignedat 7 Ax amp amp amp amp By amp amp amp amp D 2 amp amp amp amp 0 amp Cy amp amp amp amp Az amp amp amp amp E 2 amp amp amp amp 0 amp Bz amp amp amp amp Cx amp amp amp amp F 2 amp amp amp amp 0 end alignedat 則有距離 d D1 D2 2 E1 E2 2 F1 F2 2A2 B2 C2 displaystyle d sqrt frac D 1 D 2 2 E 1 E 2 2 F 1 F 2 2 A 2 B 2 C 2 給定平行直線向量式 r a1 lu displaystyle mathbf r mathbf a 1 lambda mathbf u 和 r a2 mu displaystyle mathbf r mathbf a 2 mu mathbf u 則有 d a1 a2 u u displaystyle d frac left mathbf a 1 mathbf a 2 times mathbf u right left mathbf u right 兩條歪斜直線 即既非相交 亦非平行 有方程 A1x B1y D1 0C1y A1z E1 0B1z C1x F1 0 displaystyle begin alignedat 7 A 1 x amp amp amp amp B 1 y amp amp amp amp D 1 amp amp amp amp 0 amp C 1 y amp amp amp amp A 1 z amp amp amp amp E 1 amp amp amp amp 0 amp B 1 z amp amp amp amp C 1 x amp amp amp amp F 1 amp amp amp amp 0 end alignedat 及 A2x B2y D2 0C2y A2z E2 0B2z C2x F2 0 displaystyle begin alignedat 7 A 2 x amp amp amp amp B 2 y amp amp amp amp D 2 amp amp amp amp 0 amp C 2 y amp amp amp amp A 2 z amp amp amp amp E 2 amp amp amp amp 0 amp B 2 z amp amp amp amp C 2 x amp amp amp amp F 2 amp amp amp amp 0 end alignedat 則有距離 d A1F2 A2F1 B1E2 B2E1 C1D2 C2D1 A1B1A2B2 2 B1C1B2C2 2 C1A1C2A2 2 displaystyle d frac left A 1 F 2 A 2 F 1 B 1 E 2 B 2 E 1 C 1 D 2 C 2 D 1 right sqrt begin vmatrix A 1 amp B 1 A 2 amp B 2 end vmatrix 2 begin vmatrix B 1 amp C 1 B 2 amp C 2 end vmatrix 2 begin vmatrix C 1 amp A 1 C 2 amp A 2 end vmatrix 2 當中 abcd ad bc displaystyle begin vmatrix a amp b c amp d end vmatrix ad bc 給定歪斜直線向量式 r a1 lu1 displaystyle mathbf r mathbf a 1 lambda mathbf u 1 和 r a2 mu2 displaystyle mathbf r mathbf a 2 mu mathbf u 2 則有距離 d a1 a2 u1 u2 u1 u2 displaystyle d frac left mathbf a 1 mathbf a 2 cdot mathbf u 1 times mathbf u 2 right left mathbf u 1 times mathbf u 2 right 相關條目解析幾何 點 平面 相交 平行 歪斜參考資料俞正光 李永乐 詹汉生编 线性代数与解析几何 清华大学出版社 吕林根 解析几何 高等教育出版社 Line 页面存档备份 存于互联网档案馆 Wolfram MathWorld Equations of a Straight Line 页面存档备份 存于互联网档案馆 Cut the Knot