在數學的領域中,若兩個数学对象在各个方面都相同,则称他们是相等的。这就定义了一个二元谓词等于,写作“”;当且仅当和相等。通常意义上,等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来,就构成了等式,例如,即與是相等的。
注意,有些时候“”并不表示等式。例如,表示在数量级上渐进。因為这裡的符号“”不滿足若且唯若的定義,所以它不等於等于符号;实际上,是没有意义的。请参见(大O符号)了解这部分内容。
集合上的等于关系是种二元关系,满足(自反性),(对称性),(反对称性)和(传递性)。 实际上,这是 上唯一满足所有这些性质的关系。 去掉对反对称性的要求,就是等价关系。 相应的,给定任意等价关系,可以构造(商集),并且这个等价关系将‘下降为’上的等于。
在任何条件下都成立的等式称为(恒等式),包含未知数的等式称为方程式。
邏輯形式
謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理來形式化(萊布尼茨律)。萊布尼茨律是由哲學家(萊布尼茨)在17世紀提出來的。 萊布尼茨的想法是,兩樣物體是(同一的),當且僅當它們有完全相同的性質。 形式化這一說法,可以寫成
- 對(任意)
和
,
(當且僅當)對任意(謂詞)
,
當且僅當
。
然而,在(一階邏輯)中,不能對謂詞進行量化。因此,需要使用下述公理:
- 對任意
和
,若
等於
,則
當且僅當
。
這條公理對任意單變量的謂詞都有效,但只定義了萊布尼茨律的一個方向:若
和
相等,則它們具有相同的性質。 可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向:
- 對任意
,
等於
。
則若和
具有相同的性質,則特定的它們關於謂詞
是相同的。這裡謂詞
為:
當且僅當
。 由於
成立,
必定也成立(相同的性質),所以
(' '
的變量為
).
等于的一些基本性质
替代性
对任意量和
和任意表达式
,若
,则
(设等式两边都有意义)。 在一阶逻辑中,不能量化像
这样的表达式(它可能是个(函数谓词))。 一些例子:
- 对任意实数
,若
,则
(这里
为
)
- 对任意实数
,若
,则
(这里
为
)
- 对任意实数
,若
,则
(这里
为
)
- 对任意实数
,若
且
,则
(这里
为
)
自反性
对任意量,
。
这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。
对称性
例子:如果,那么
传递性
例子:如果,
,那么
实数或其他对象上的二元关系“约等于”,即使进行精确定义,也不具有传递性(即使看上去有,但许多小的(差)能够叠加成非常大)。然而,在情况下,等于具有传递性。
尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质,但它们能够通过替代性和自反性证明得到。
符号的历史
「等于」符号或 「」被用来表示一些算术运算的结果,是由(罗伯特·雷科德)在1557年发明的。
由于觉得书写文字过于麻烦,雷科德在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长,表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。
约等于的符号是或≒,(不等于)的符号是
。
参见
外部链接
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