磁矩是磁鐵的一種物理性質 處於外磁場的磁鐵 會感受到力矩 促使其磁矩沿外磁場的磁場線方向排列 磁矩可以用向量表示 磁鐵的磁矩方向是從磁鐵的指南極指向指北極 磁矩的大小取決於磁鐵的磁性與量值 不只是磁鐵具有磁矩 載流迴路 電子 分子或行星等等 都具有磁矩 科學家至今尚未發現宇宙中存在有磁單極子 一般磁性物質的磁場 其泰勒展開的多極展開式 由於磁單極子項目恆等於零 第一個項目是磁偶極子項 第二個項目是磁四極子 quadrupole 項 以此类推 磁矩也分為磁偶極矩 磁四極矩等等部分 從磁矩的磁偶極矩 磁四極矩等等 可以分別計算出磁場的磁偶極子項目 磁四極子項目等等 隨著距離的增遠 磁偶極矩部分會變得越加重要 成為主要項目 因此 磁矩這術語時常用來指稱磁偶極矩 有些教科書內 磁矩的定義與磁偶極矩的定義相同 概述一個載流迴圈的磁偶極矩是其所載電流乘以迴路面積 m Ia displaystyle boldsymbol mu I mathbf a 其中 m displaystyle boldsymbol mu 為磁偶極矩 I displaystyle I 為電流 a displaystyle mathbf a 為面積向量 磁偶極矩 面積向量的方向是由右手定則決定 處於外磁場的載流迴圈 其感受到的力矩和其勢能與磁偶極矩的關係為 t m B displaystyle boldsymbol tau boldsymbol mu times mathbf B U m B displaystyle U boldsymbol mu cdot mathbf B 其中 t displaystyle boldsymbol tau 為力矩 B displaystyle mathbf B 為磁場 U displaystyle U 為勢能 許多基本粒子 例如電子 都具有 這種內稟磁矩是許多巨觀磁場力的來源 許多物理現象也和此有關 這種磁矩和古典物理的磁矩不同 而是和粒子的自旋有關 必須用量子力學來解釋 這些內稟磁矩是量子化的 最小的基本單位 常常稱為 磁子 magneton 例如 電子自旋的磁矩與波耳磁子的關係式為 ms gsmBS ℏ displaystyle boldsymbol mu s g s mu B mathbf S hbar 其中 ms displaystyle boldsymbol mu s 為電子自旋的磁矩 電子自旋g因子gs displaystyle g s 是一項比例常數 mB displaystyle mu B 為波耳磁子 S displaystyle mathbf S 為電子的自旋 ℏ displaystyle hbar 是約化普朗克常數 單位採用國際單位制 磁偶極矩的因次是面積 電流 磁偶極矩的單位有兩種等價的表示法 1 安培 公尺2 1 焦耳 特斯拉 CGS單位制又可細分為幾種亞單位制 靜電單位制 electrostatic units 電磁單位制 electromagnetic units 高斯單位制 磁偶極矩單位轉換表 光速 c 29 979 245 800 3 1010 語言 國際單位制 靜電單位制 電磁單位制 高斯單位制中文 1 安培 公尺2 1 焦耳 特斯拉 103c 公分2 103 絕對安培 公分2 103 爾格 高斯英文 1 A m2 1 J T 103c statA cm2 103 abA cm2 103 erg Gauss 磁偶極矩在電磁單位制與在靜電單位制的比例正好等於單位為公分 秒的光速 在這篇文章內 所有的方程式都採用國際單位制 兩種磁源在任何物理系統裏 磁矩最基本的源頭有兩種 電荷的運動 像電流 會產生磁矩 只要知道物理系統內全部的電流密度分佈 或者所有的電荷的位置和速度 理論上就可以計算出磁矩 像電子 質子一類的基本粒子會因自旋而產生磁矩 每一種基本粒子的內稟磁矩的大小都是常數 可以用理論推導出來 得到的結果也已經通過做實驗核對至高準確度 例如 電子磁矩的測量值是 9 284764 10 24焦耳 特斯拉 磁矩的方向完全決定於粒子的自旋方向 電子磁矩的測量值是負值 這意味著電子的磁矩與自旋呈相反方向 整個物理系統的淨磁矩是所有磁矩的向量和 例如 氫原子的磁場是以下幾種磁矩的向量和 電子的自旋 電子環繞著質子的軌域運動 質子的自旋 再舉個例子 構成條形磁鐵的物質 其未配對電子的內稟磁矩和軌域磁矩的向量和 是條形磁鐵的磁矩 計算磁矩的方程式平面迴圈 假設一個平面載流迴圈的面積向量為a displaystyle mathbf a 所載電流為I displaystyle I 則其磁偶極矩為m Ia displaystyle boldsymbol mu I mathbf a 對於最簡單的案例 平面載流迴圈的磁偶極矩m displaystyle boldsymbol mu 是 m Ia displaystyle boldsymbol mu I mathbf a 其中 I displaystyle I 是迴圈所載有的恆定電流 a displaystyle mathbf a 是平面迴圈的面積向量 面積向量和磁偶極矩的方向是由右手定則給出 令四隻手指朝著電流方向彎曲 伸直大拇指 則大拇指所指的方向即是面積向量的方向 也是磁偶極矩的方向 這有限面積的載流迴圈還有更高階的磁矩 像磁四極矩 磁八極矩等等 假設載流迴圈的面積趨向於零 電流趨向於無窮大 同時保持m Ia displaystyle boldsymbol mu I mathbf a 不變 則所有更高階的磁矩會趨向於零 這真實的載流迴圈趨向於理想磁偶極子 或純磁偶極子 任意迴路 對於任意迴路案例 假設迴路載有恆定電流I displaystyle I 則其磁偶極矩為 m I Sda displaystyle boldsymbol mu I int mathbb S mathrm d mathbf a 其中 S displaystyle mathbb S 是積分曲面 C displaystyle mathbb C 是S displaystyle mathbb S 邊緣的閉合迴路 da displaystyle mathrm d mathbf a 是微小面積元素 dℓ displaystyle mathrm d boldsymbol ell 是微小線元素 r displaystyle mathbf r 是dℓ displaystyle mathrm d boldsymbol ell 的位置 引用向量恆等式 Sda 12 Cr dℓ displaystyle int mathbb S mathrm d mathbf a frac 1 2 oint mathbb C mathbf r times mathrm d boldsymbol ell 即可得到磁偶極矩的路徑積分方程式 m I2 Cr dℓ displaystyle boldsymbol mu frac I 2 oint mathbb C mathbf r times mathrm d boldsymbol ell 任意電流分佈 對於最廣義的任意電流分佈案例 磁偶極矩為 m 12 Vr J dV displaystyle boldsymbol mu frac 1 2 int mathbb V mathbf r times mathbf J mathrm d V 其中 V displaystyle mathbb V 是積分體積 r displaystyle mathbf r 是源電流位置 J displaystyle mathbf J 是電流密度 dV displaystyle mathrm d V 是微小體積元素 任意一群移動電荷 像旋轉的帶電固體 都可以用這方程式計算出其磁偶極矩 基本粒子 在原子物理學和核子物理學裏 磁矩的大小標記為m displaystyle mu 通常測量單位為波耳磁子或核磁子 nuclear magneton 磁矩關係到粒子的自旋 和 或粒子在系統內的軌域運動 以下列表展示出一些粒子的內稟磁矩 一些基本粒子的內稟磁矩和自旋 粒子 內稟磁矩 10 27焦耳 特斯拉 自旋量子數電子 9284 764 1 2質子 14 106067 1 2中子 9 66236 1 2緲子 44 904478 1 2重氫 4 3307346 1氫 3 15 046094 1 2 欲知道更多有關於磁矩與磁化強度之間的物理關係 請參閱條目磁化強度 載流迴路產生的磁場磁偶極子的磁場線 從側面望去 磁偶極子豎立於繪圖的中央 載流迴路會在周圍產生磁場 這磁場包括偶極磁場與更高次的多極項目 但是 隨著距離的增遠 這些多極項目會更快速地減小 因此 在遠距離位置 只有偶極項目是磁場的顯要項目 思考一個載有恆定電流I displaystyle I 的任意局域迴路C displaystyle mathbb C 其磁矢勢A displaystyle mathbf A 為 A r m0I4p C dℓ r r displaystyle mathbf A mathbf r frac mu 0 I 4 pi oint mathbb C frac mathrm d boldsymbol ell mathbf r mathbf r 其中 r displaystyle mathbf r 是檢驗位置 r displaystyle mathbf r 是源頭位置 是微小線元素dℓ displaystyle mathrm d boldsymbol ell 的位置 m0 displaystyle mu 0 是磁常數 假設檢驗位置足夠遠 r gt r displaystyle r gt r 則表達式1 r r displaystyle frac 1 mathbf r mathbf r 可以泰勒展開為 1 r r 1r n 0 r r nPn cos 8 displaystyle frac 1 mathbf r mathbf r frac 1 r sum n 0 infty left frac r r right n P n cos theta 其中 Pn cos 8 displaystyle P n cos theta 是勒讓德多項式 8 displaystyle theta 是r displaystyle mathbf r 與r displaystyle mathbf r 之間的夾角 所以 磁矢勢展開為 A r m0I4p n 0 1rn 1 C r nPn cos 8 dℓ displaystyle mathbf A mathbf r frac mu 0 I 4 pi sum n 0 infty frac 1 r n 1 oint mathbb C r n P n cos theta mathrm d boldsymbol ell 思考n 0 displaystyle n 0 項目 也就是磁單極子項目 A0 r m0I4pr C dℓ 0 displaystyle mathbf A 0 mathbf r frac mu 0 I 4 pi r oint mathbb C mathrm d boldsymbol ell 0 由於閉合迴路的向量線積分等於零 磁單極子項目恆等於零 再思考n 1 displaystyle n 1 項目 也就是磁偶極子項目 A1 r m0I4pr2 C r cos 8 dℓ m0I4pr2 r S da displaystyle mathbf A 1 mathbf r frac mu 0 I 4 pi r 2 oint mathbb C r cos theta mathrm d boldsymbol ell frac mu 0 I 4 pi r 2 hat mathbf r times oint mathbb S mathrm d mathbf a 注意到磁偶極矩為m I S da displaystyle boldsymbol mu I oint mathbb S mathrm d mathbf a 偶極磁矢勢可以寫為 A1 r m04p m r r2 displaystyle mathbf A 1 mathbf r frac mu 0 4 pi frac boldsymbol mu times hat mathbf r r 2 偶極磁場B1 displaystyle mathbf B 1 為 B1 r A1 r displaystyle mathbf B 1 mathbf r nabla times mathbf A 1 mathbf r 由於磁偶極子的向量勢有一個奇點在它所處的位置 原點O displaystyle mathbf O 必須特別小心地計算 才能得到正確答案 更仔細地推導 可以得到磁場為 B1 r m04pr3 3 m r r m 2m03md3 r displaystyle mathbf B 1 mathbf r frac mu 0 4 pi r 3 left 3 boldsymbol mu cdot hat mathbf r hat mathbf r boldsymbol mu right frac 2 mu 0 3 boldsymbol mu delta 3 mathbf r 其中 d3 r displaystyle delta 3 mathbf r 是狄拉克d函數 偶極磁場的狄拉克d函數項目造成了原子能級分裂 因而形成了超精細結構 hyperfine structure 在天文學裏 氫原子的超精細結構給出了21公分譜線 在電磁輻射的無線電波範圍 是除了3K背景輻射以外 宇宙彌漫最廣闊的電磁輻射 從 recombination 至 reionization 之間的天文學研究 只能依靠觀測21公分譜線無線電波 給予幾個磁偶極矩 則按照疊加原理 其總磁場是每一個磁偶極矩的磁場的總向量和 處於外磁場的磁偶極子磁偶極子感受到的磁力矩 處於均勻磁場的一個方形載流迴圈 如圖右 假設載有電流I displaystyle I 的一個方形迴圈處於外磁場B B0z displaystyle mathbf B B 0 hat mathbf z 方形迴圈四個邊的邊長為w displaystyle w 其中兩個與y displaystyle hat mathbf y 平行的邊垂直於外磁場 另外兩個邊與磁場之間的夾角角弧為 8 p 2 displaystyle theta pi 2 垂直於外磁場的兩個邊所感受的磁力矩為 t IwB0wsin 82 IwB0wsin 82 y Iw2B0sin 8y displaystyle boldsymbol tau left IwB 0 frac w sin theta 2 IwB 0 frac w sin theta 2 right hat mathbf y Iw 2 B 0 sin theta hat mathbf y 另外兩個邊所感受的磁力矩互相抵消 注意到這迴圈的磁偶極矩為 m Iw2m displaystyle boldsymbol mu Iw 2 hat boldsymbol mu 所以 這迴圈感受到的磁力矩為 t m B displaystyle boldsymbol tau boldsymbol mu times mathbf B 令載流迴圈的面積趨向於零 電流趨向於無窮大 同時保持m Ia displaystyle boldsymbol mu I mathbf a 不變 則這載流迴圈趨向於理想磁偶極子 所以 處於外磁場的磁偶極子所感受到的磁力矩也可以用上述方程式表示 當磁偶極矩垂直於磁場時 磁力矩的大小是最大值mB0 displaystyle mu B 0 當磁偶極矩與磁場平行時 磁力矩等於零 磁偶極子的勢能 將載流迴圈從角弧81 displaystyle theta 1 扭轉到角弧82 displaystyle theta 2 磁場所做的機械功W displaystyle W 為 W 8182t d8 8182mB0sin 8 d8 mB0 cos 82 cos 81 displaystyle W int theta 1 theta 2 tau d theta int theta 1 theta 2 mu B 0 sin theta d theta mu B 0 cos theta 2 cos theta 1 注意到磁力矩的扭轉方向是反時針方向 而8 displaystyle theta 是朝著順時針方向遞增 所以必須添加一個負號 設定81 p 2 displaystyle theta 1 pi 2 則 W mB0cos 82 m B displaystyle W mu B 0 cos theta 2 boldsymbol mu cdot mathbf B 對抗這磁場的磁力矩 將載流迴圈從角弧p 2 displaystyle pi 2 扭轉到角弧82 displaystyle theta 2 所做的機械功Wa displaystyle W a 為 Wa W m B displaystyle W a W boldsymbol mu cdot mathbf B 定義載流迴圈的勢能U displaystyle U 等於這機械功Wa displaystyle W a 以方程式表示為 U m B displaystyle U boldsymbol mu cdot mathbf B 與前段所述同理 磁偶極子的勢能也可以用這方程式表示 當磁偶極矩垂直於磁場時 勢能等於零 當磁偶極矩與磁場呈相同方向時 勢能是最小值 mB0 displaystyle mu B 0 當磁偶極矩與磁場呈相反方向時 勢能是最大值mB0 displaystyle mu B 0 非均勻磁場 假設外磁場為均勻磁場 則作用於載流迴路C displaystyle mathbb C 的磁場力等於零 F I C dℓ B 0 displaystyle mathbf F I oint mathbb C mathrm d boldsymbol ell times mathbf B 0 假設外磁場為非均勻的 則會有一股磁場力 作用於磁偶極子 依照磁矩模型的不同 求得的磁場力也會不同 採用常見的 電流模型 則一個磁偶極子所感受到的磁場力為 Fℓ m B displaystyle mathbf F ell nabla boldsymbol mu cdot mathbf B 另外一種採用 磁荷模型 這類似電偶極矩的模型 計算出的磁場力為 Fd m B displaystyle mathbf F d boldsymbol mu cdot nabla mathbf B 兩者之間的差別為 Fl Fd m B displaystyle mathbf F l mathbf F d boldsymbol mu times left nabla times mathbf B right 假設 電流等於零 電場不含時間 則根據馬克士威 安培方程式 B 0 displaystyle nabla times mathbf B 0 兩種模型計算出來的磁場力相等 可是 假設電流不等於零 或電場為含時電場 則兩種模型計算出來的磁場力不相等 1951年 兩個不同的實驗 研究中子的散射於鐵磁性物質 分別得到的結果與電流模型預估的結果相符合 範例圓形載流迴圈的磁偶極矩 一個載流迴圈的磁偶極矩與其面積和所載電流有關 例如 載有1安培電流 半徑r displaystyle r 為0 05公尺的單匝圓形載流迴圈 其磁偶極矩為 m pr 2I p 0 052 1 0 008 A m2 0 008 J T displaystyle mu pi r 2 I pi times 0 05 2 times 1 approx 0 008 mathrm A cdot mathrm m 2 0 008 mathrm J T 磁偶極矩垂直於載流迴圈的平面 載流迴圈的磁矩 可以用來建立以下幾點論據 假設場位置的距離r displaystyle r 超遠於迴圈半徑r 0 05 m displaystyle r 0 05 mathrm m 則磁場會呈反立方減弱 沿著迴圈的中心軸 磁矩與場位置r displaystyle mathbf r 平行 B m04pr32m 4p 10 74pr3 2 0 008 1 6 10 9r3 T m3 displaystyle B frac mu 0 4 pi r 3 2 mu frac 4 pi times 10 7 4 pi r 3 times 2 times 0 008 approx frac 1 6 times 10 9 r 3 mathrm T cdot mathrm m 3 dd 在包含迴圈的平面的任意位置 磁矩垂直於場位置 B m04pr3m 4p 10 74pr3 0 008 0 8 10 9r3 T m3 displaystyle B frac mu 0 4 pi r 3 mu frac 4 pi times 10 7 4 pi r 3 times 0 008 approx frac 0 8 times 10 9 r 3 mathrm T cdot mathrm m 3 dd 負號表示平面任意位置案例與中心軸案例 這兩個案例的磁場呈相反方向 dd 假設在地球的某地方 地磁場BE displaystyle mathbf B E 的數值大約為0 5 高斯 5 10 5特斯拉 而且迴圈磁矩垂直於地磁場BE displaystyle mathbf B E 則此迴圈所感受到的力矩為t 0 008 5 10 5 4 10 7 N m displaystyle tau approx 0 008 times 5 times 10 5 4 times 10 7 mathrm N cdot mathrm m dd 應用力矩的觀念 可以製造出羅盤 假設這羅盤的磁針 由於力矩的作用 從磁針的磁矩垂直於地磁場BE displaystyle mathbf B E 旋轉至磁針的磁矩與地磁場BE displaystyle mathbf B E 呈相同方向 則這羅盤 地球系統釋放出的能量U displaystyle U 為U 0 008 5 10 5 4 10 7 J displaystyle U approx 0 008 times 5 times 10 5 4 times 10 7 mathrm J dd 由於羅盤懸浮系統的摩擦機制 這能量是以熱量的形式耗散淨盡 螺線管的磁矩 螺線管三維電腦繪圖 一個多匝線圈 或螺線管 的磁矩是其每個單匝線圈的磁矩的向量和 對於全同匝 單層捲繞 只需將單匝線圈的磁矩乘以匝數 就可得到總磁矩 然後 這總磁矩可以用來計算磁場 力矩 和儲存能量 方法與使用單匝線圈計算的方法相同 假設螺線管的匝數為N displaystyle N 每一匝線圈面積為a displaystyle a 通過電流為I displaystyle I 則其磁矩為 m NIa displaystyle mu NIa 載電粒子圓周運動的磁矩 假設 一個點電荷q displaystyle q 以等速v displaystyle v 繞著z 軸 移動於半徑為r displaystyle r 的平面圓形路徑 則其電流為 I qv2pr displaystyle I frac qv 2 pi r 其磁矩為 m qv2prpr2 qvr2z displaystyle boldsymbol mu frac qv 2 pi r pi r 2 frac qvr 2 hat mathbf z 其角動量J displaystyle mathbf J 為 J mvrz displaystyle mathbf J mvr hat mathbf z 其中 m displaystyle m 是載電粒子的質量 所以 磁矩與角動量的經典關係為 m q2mJ displaystyle boldsymbol mu frac q 2m mathbf J 對於電子 這經典關係為 m e2meJ displaystyle boldsymbol mu frac e 2m e mathbf J 其中 me displaystyle m e 是電子的質量 e displaystyle e 是電子的絕對電量 假設 這點電荷是個束縛於氫原子內部的電子 由於離心力等於庫侖吸引力 14pϵ0 e2r2 mev2r displaystyle frac 1 4 pi epsilon 0 frac e 2 r 2 m e frac v 2 r 其中 ϵ0 displaystyle epsilon 0 是電常數 現在施加外磁場B Bz displaystyle mathbf B B hat mathbf z 於此氫原子 則會有額外的勞侖茲力作用於電子 假設軌道半徑不變 這只是一個粗略計算 只有電子的速度改變為vB displaystyle v B 則 14pϵ0 e2r2 evBB mevB2r displaystyle frac 1 4 pi epsilon 0 frac e 2 r 2 ev B B m e frac v B 2 r 所以 vB2 v2 vB v vB v evBBrme displaystyle v B 2 v 2 v B v v B v frac ev B Br m e 假設 兩個速度的差別Dv vB v displaystyle Delta v v B v 超小 則 Dv eBr2me displaystyle Delta v approx frac eBr 2m e 所以 由於施加外磁場B displaystyle mathbf B 磁矩的變化為 Dm eDvr2z e2r24meBz displaystyle Delta boldsymbol mu frac e Delta vr 2 hat mathbf z frac e 2 r 2 4m e B hat mathbf z 注意到Dm displaystyle Delta boldsymbol mu 與B displaystyle mathbf B 呈相反方向 因而減弱了磁場 這是抗磁性的經典解釋 可是 抗磁性是一種量子現像 經典解釋並不正確 為了簡略計算 使用半經典方法 可以求出磁矩的變化為 Dm e2 r2 4meBz displaystyle Delta boldsymbol mu frac e 2 langle r 2 rangle 4m e B hat mathbf z 其中 r2 displaystyle langle r 2 rangle 是半徑平方的期望值 電子的磁矩 電子和許多其它種類的粒子都具有內稟磁矩 這是一種量子屬性 涉及到量子力學 詳盡細節 請參閱條目電子磁偶極矩 electron magnetic dipole moment 微觀的內稟磁矩集聚起來 形成了巨觀的磁效應和其它物理現象 例如電子自旋共振 電子的磁矩是 m gemBS ℏ displaystyle boldsymbol mu g e mu B mathbf S hbar 其中 ge displaystyle g e 是電子的朗德g因子 mB eℏ 2me displaystyle mu B e hbar 2m e 是波耳磁子 S displaystyle mathbf S 是電子的自旋角動量 按照前面計算的經典結果 ge 1 displaystyle g e 1 但是 在狄拉克力學裏 ge 2 displaystyle g e 2 更準確地 由於量子電動力學效應 它的實際値稍微大些 gS 2 00231930436 displaystyle g S 2 002 319 304 36 請注意 由於這方程式內的負號 電子磁矩與自旋呈相反方向 對於這物理行為 經典電磁學的解釋為 假想自旋角動量是由電子繞著某旋轉軸而產生的 因為電子帶有負電荷 這旋轉所產生的電流的方向是相反的方向 這種載流迴路產生的磁矩與自旋呈相反方向 同樣的推理 帶有正電荷的正子 電子的反粒子 其磁矩與自旋呈相同方向 原子的磁矩 在原子內部 可能會有很多個電子 多電子原子的總角動量計算 必須先將每一個電子的自旋總和 得到總自旋 再將每一個電子的軌角動量總和 得到總軌角動量 最後用角動量耦合 angular momentum coupling 方法將總自旋和總軌角動量總和 即可得到原子的總角動量 原子的磁矩m displaystyle mu 與總角動量J displaystyle mathbf J 的關係為 m gJmBJ ℏ displaystyle boldsymbol mu g J mu B mathbf J hbar 其中 gJ displaystyle g J 是原子獨特的朗德g因子 磁矩對於磁場方向的分量mz displaystyle mu z 是 mz gJmBJz ℏ displaystyle mu z g J mu B J z hbar 其中 Jz Jmℏ displaystyle J z J m hbar 是總角動量對於磁場方向的分量 Jm displaystyle J m 是磁量子數 可以取2J 1個整數値 J J 1 J 1 J 之中的任意一個整數值 因為電子帶有負電荷 所以mz displaystyle mu z 是負值 處於磁場的磁偶極子的動力學 不同於處於電場的電偶極子的動力學 磁場會施加力矩於磁偶極子 迫使它依著磁場線排列 但是 力矩是角動量對於時間的導數 所以 會產生自旋進動 也就是說 自旋方向會改變 這物理行為以方程式表達為 1gdmdt m H displaystyle frac 1 gamma frac d boldsymbol mu dt boldsymbol mu times mathbf H 其中 g displaystyle gamma 是 gyromagnetic ratio H displaystyle mathbf H 是磁場 注意到這方程式的左手邊項目是角動量對於時間的導數 而右手邊項目是力矩 磁場又可分為兩部分 H Heff lgmdmdt displaystyle mathbf H mathbf H eff frac lambda gamma mu frac d boldsymbol mu dt 其中 Heff displaystyle mathbf H eff 是有效磁場 外磁場加上任何自身場 l displaystyle lambda 是阻尼係數 這樣 可以得到 Landau Lifshitz Gilbert equation 1gdmdt m Heff lgmm dmdt displaystyle frac 1 gamma frac d boldsymbol mu dt boldsymbol mu times mathbf H eff frac lambda gamma mu boldsymbol mu times frac d boldsymbol mu dt 方程式右邊第一個項目描述磁偶極子繞著有效磁場的進動 第二個項目是阻尼項目 會使得進動漸漸減弱 最後消失 蘭道 李佛西茲 吉爾伯特方程式是研究磁化動力學最基本的方程式之一 原子核的磁矩 核子系統是一種由核子 質子和中子 組成的精密物理系統 自旋是核子的量子性質之一 由於原子核的磁矩與其核子成員有關 從核磁矩的測量數據 更明確地 從核磁偶極矩的測量數據 可以研究這些量子性質 雖然有些同位素原子核的激發態的衰變期超長 大多數常見的原子核的自然存在狀態是基態 每一個同位素原子核的能態都有一個獨特的 明顯的核磁偶極矩 其大小是一個常數 通過細心設計的實驗 可以測量至非常高的精確度 這數值對於原子核內每一個核子的獨自貢獻非常敏感 若能夠測量或預測出這數值 就可以揭示核子波函數的內涵 現今 有很多理論模型能夠預測核磁偶極矩的數值 也有很多種實驗技術能夠進行原子核測試 分子的磁矩 任何分子都具有明確的磁矩 這磁矩可能會跟分子的能態有關 通常而言 一個分子的磁矩是下列貢獻的總和 按照典型強度從大至小列出 假若有未配對電子 則是其自旋所產生的磁矩 順磁性貢獻 電子的軌域運動 處於基態時 所產生常與外磁場成正比的磁矩 抗磁性貢獻 依照核自旋組態 所產生的總磁矩 分子磁性範例 氧分子 O2 由於其最外面的兩個未配對電子的自旋 具有強順磁性 二氧化碳分子 CO2 由於電子軌域運動而產生的 與外磁場成正比的 很微弱的磁矩 在某些稀有狀況下 假若這分子是由具磁性的同位素組成 像13C或17O 則此同位素原子核也會將其核磁性貢獻給分子的磁矩 氫分子 H2 處於一個弱磁場 或零磁場 會顯示出核磁性 氫分子的兩種自旋異構體 正氫或仲氫 都具有這種物理性質 參閱電偶極矩 磁化強度 磁化率 球多極矩 絕熱不變數 Magnetic dipole dipole interaction 參考文獻Jackson John David Classical Electrodynamic 3rd USA John Wiley amp Sons Inc pp 186 1999 ISBN 978 0 471 30932 1 引文格式1维护 冗余文本 link Cardarelli F Encyclopaedia of Scientific Units Weights and Measures Their SI Equivalences and Origins 2nd Springer pp 20 25 2004 ISBN 1 8523 3682 X 引文格式1维护 冗余文本 link 美國國家標準與技術研究院 NIST 的實驗値 電子磁矩 页面存档备份 存于互联网档案馆 參閱美國國家標準與技術研究院的Fundamental Physical Constants網頁 2010 04 10 原始内容于2009 08 22 Griffiths David J Hyperfine splitting in the ground state of hydrogen PDF American Journal of Physics August 1982 50 8 pp 698 2010 04 11 原始内容 PDF 于2020 05 12 引文格式1维护 冗余文本 link Boyer Timothy H The Force on a Magnetic Dipole PDF American Journal of Physics 1988 56 8 pp 688 692 doi 10 1119 1 15501 引文格式1维护 冗余文本 link 永久失效連結 Griffiths David J Introduction to Electrodynamics 3rd ed Prentice Hall pp 260 262 1998 ISBN 0 13 805326 X 引文格式1维护 冗余文本 link O Dell S L Zia R K P Classical and semiclassical diamagnetism A critique of treatment in elementary texts PDF American Journal of Physics Jan 1986 54 1 pp 32 35 引文格式1维护 冗余文本 link 永久失效連結 RJD Tilley Understanding Solids John Wiley and Sons pp 368 2004 ISBN 0470852755 引文格式1维护 冗余文本 link Stuart Alan Rice Advances in chemical physics 128 Wiley pp 208 ff 2004 ISBN 0471445282 引文格式1维护 冗余文本 link