在數學中,典型群(classical group)指與歐幾里得空間的密切相關的四類李群。所謂「古典」的使用取決於當下語境,有一定的靈活性。這個用法可能源於赫爾曼·外爾在1939年發表的專著《古典群:它們的不變量和表式》。在(菲利克斯·克萊因)的(愛爾蘭根綱領)觀點下,也許反映了它們和“經典”幾何(classical geometry)的關系。
古典群是最被深入研究的線性李群,多數的古典群在古典物理與近代物理皆有應用。例如, 對應到歐幾里得空間的旋轉,是古典物理中許多對稱性的基礎;(勞侖茲群) 描述了狹義相對論中時空的對稱性。其他還有(特殊么正群) 在(量子色動力學)、以及(扭對稱群) 在量子力學中皆有廣泛應用。
有時在緊群的限制下討論古典群,這樣容易處理它們的(表示論)和代數拓撲。但是這把(一般線性群)排除在外,當前都認為一般線性群是最古典的群。
和典型李群相對的是,具有一樣的抽象性質,但不屬於同一類。
和双线性形式的关系
典型李群共同的特点是它们都与某个特定的(双线性)或(半双线性)形式的密切联系。这四类用(邓肯图)标记( ),可以描述为:
,(特殊么正群),行列式为
的
么正矩阵。
,(特殊正交群),
行列式为
的实正交矩阵。
,(辛群),保持 Hn 上的通常内积的
四元数矩阵。
,(特殊正交群),
行列式为
的实正交矩阵。
为了某些特定的目的,去掉行列式为 的条件考虑酉群和(不连通)正交群也是自然的。表中所列即为所谓连通群;在复数域中有相应的类比,以及多种非紧形式,例如,和紧正交群一起可考虑(不定正交群)。这些群相应的李代数称为「典型李代数」。
一般域或环上的典型群
在代数中,通常會考虑任意環 上的典型群,给出特别值得关注的(矩阵群)。当矩阵群的系数环是实数或复数域时,这些群就是上述的典型李群。
当系数环是(有限域)时,典型群是(李型群)。这些群在(有限单群的分类)中扮演着重要的角色。在群論中,许多线性群有一个「特殊的」子群,常常由行列式为 的元素组成,大部分有一个伴随的「投影」群,它们是除掉該群(中心)的商群。
“一般”一词在群的名称前面通常表示这个群可以用常数乘以某个形式,而不是保持不变。下标 经常表示群作用的模之维数。特别注意:这种记法和 Dynkin 图中的
(为秩)可能冲突。
一般与特殊线性群
(一般线性群) 是某个模的自同构群。有子群(特殊线性群)
,以及商群
和
。当
的時候,
上的射影特殊线性群
为单群。
酉群
(酉群) Un(R) 是保持某个模的(半双线性形式)的群。有子群(特殊酉群) SUn(R),以及他们的商群 PUn(R) = Un(R)/Z(Un(R)) 与 PSUn(R) = SUn(R)/Z(SUn(R))。
辛群
辛群 Sp2n(R) 保持一个模的。它有一个商群 PSp2n(R)。将模的斜对称形式乘以一个可逆纯量的所有自同构组成 GSp2n(R) 。除了 n=1 且域的阶数为 2 或 3 这两个例外,域 R 上射影辛群 PSp2n(R) 是单群。
正交群
(正交群) On(R) 保持一个模的非退化二次型。有子群(特殊正交群) SOn(R),以及商群 POn(R) 与。在特征为 2 时,行列式总是 1,故特殊正交群常定义为 (Dickson 不变量)为 1 的元素。
有一个没有名字的群,经常记为 Ωn(R),由所有 (Spinor 模)为 1 的正交群中元素组成。相应的子群和商群为 SΩn(R),PΩn(R),PSΩn(R)(对实数域上正定二次型,群 Ω 就是正交群,但一般要比正交群小)。Ωn(R) 也有一个二重覆盖群,称为 (Spin 群) Spinn(R)。由在二次型上的作用为乘以一个可逆纯量的自同构组成。
參見
- 记号习惯:
注释
参考文献
- (Artin, Emil), Geometric algebra, , 1957,
- (Dieudonné, Jean), La géométrie des groups classiques, (Springer), 1955,
- Weyl, Hermann, The Classical Groups: Their Invariants and Representations, Princeton University Press, 1939,
- V. L. Popov, Classical group, Hazewinkel, Michiel (编), (数学百科全书), , 2001,
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