因数 英語 factor 也称 约数 因子 除子 除數 divisor 是一个常见的数学名词 用于描述自然数 a displaystyle a 和自然数 b displaystyle b 之间存在的整除关系 即 b displaystyle b 可以被 a displaystyle a 整除 这里我们称 b displaystyle b 是 a displaystyle a 的倍数 a displaystyle a 是 b displaystyle b 的因数或因子 定义设 a b displaystyle a b 满足 a N b N displaystyle a in mathbb N b in mathbb N 若存在 q N displaystyle q in mathbb N 使得 b aq displaystyle b aq 那么就说 b displaystyle b 是 a displaystyle a 的倍数 a displaystyle a 是 b displaystyle b 的约数 这种关系记作 a b displaystyle a b 读作 a displaystyle a 整除 b displaystyle b 例如 24 3 8 1150 25 46 displaystyle 24 3 times 8 1150 25 times 46 所以 3 24 25 1150 displaystyle 3 24 25 1150 同时 3 displaystyle 3 是 24 displaystyle 24 的因数 25 displaystyle 25 是 1150 displaystyle 1150 的因数 除了自己本身外的因數 稱為 真因數 或 真因子 proper divisor 性质若 a b b c displaystyle a b b c 那么 a c displaystyle a c 若 a b a c displaystyle a b a c 且 x y Z displaystyle x y in mathbb Z 有 a bx cy displaystyle a bx cy 若 a b displaystyle a b 设 t 0 displaystyle t not 0 那么 ta tb displaystyle ta tb 若 b qd c displaystyle b qd c 那么 d b displaystyle d b 的充要条件是 d c displaystyle d c 若 x y Z displaystyle x y in mathbb Z 满足 ax by 1 a n b n displaystyle ax by 1 a n b n 那么 ab n displaystyle ab n 这里对最后一条性质进行证明 a n b n ab bn ab an ab anx bny displaystyle because a n b n quad therefore ab bn ab an quad therefore ab anx bny ax by 1 ab n displaystyle because ax by 1 quad therefore ab n 证毕 相关定理整数的唯一分解定理 任何一个正整数都有且仅有一种方式写出它所有素数因子的乘积表达式 这个过程称为质因数分解 如果 A N displaystyle A in mathbb N 那么 A i 1npiai displaystyle A prod i 1 n p i a i 其中 pi displaystyle p i 是一个素数 这种表示方法是唯一的 因数个数 自然数 N displaystyle N 的因数个数以 d n displaystyle d n 表示 若 N displaystyle N 唯一分解为 N p1a1 p2a2 p3a3 pnan i 1npiki displaystyle N p 1 a 1 times p 2 a 2 times p 3 a 3 times cdots times p n a n prod i 1 n p i k i 则 d N a1 1 a2 1 a3 1 an 1 i 1n ai 1 displaystyle d N a 1 1 times a 2 1 times a 3 1 times cdots times a n 1 prod i 1 n left a i 1 right 例如 2646 2 33 72 displaystyle 2646 2 times 3 3 times 7 2 则其正因数个数 d 2646 1 1 3 1 2 1 24 displaystyle d 2646 1 1 times 3 1 times 2 1 24 因数和 自然数N 的正因数和 以因数函数 s N displaystyle sigma N 表示 由质因数分解而得 若 N displaystyle N 唯一分解为 N p1a1 p2a2 p3a3 pnan i 1npiki displaystyle N p 1 a 1 times p 2 a 2 times p 3 a 3 times cdots times p n a n prod i 1 n p i k i 则 s N i 1n j 0aipij displaystyle sigma N prod i 1 n left sum j 0 a i p i j right 再由等比级数求和公式可知 上式亦可写成 s N p1a1 1 1p1 1 p2a2 1 1p2 1 pnan 1 1pn 1 displaystyle begin aligned sigma N amp frac p 1 a 1 1 1 p 1 1 times frac p 2 a 2 1 1 p 2 1 times cdots times frac p n a n 1 1 p n 1 amp end aligned 例如2646 2 33 72 displaystyle 2646 2 times 3 3 times 7 2 则其正因数之和 s 2646 1 2 1 3 9 27 1 7 49 22 12 1 34 13 1 73 17 1 3 40 57 6840 displaystyle begin aligned sigma 2646 amp 1 2 times 1 3 9 27 times 1 7 49 amp frac 2 2 1 2 1 times frac 3 4 1 3 1 times frac 7 3 1 7 1 amp 3 times 40 times 57 amp 6840 end aligned 其他所有n的正因數都是n的質因數的積的一些冪 這是算術基本定理的結果 1是所有整數的正因數 1是所有整數的負因數 因為x 1x 1 x displaystyle x 1x 1 times x 由上式同樣可證明 一個整數及其相反數必然為自身的因數 叫做 明顯因數 n的正因數數目是積性函數d n 正因數之和則是另一個積性函數s n 詳見除數函數質數p displaystyle p 只有2個正因數 1 p displaystyle p p displaystyle p 的平方數只有三個正因數 1 p displaystyle p p2 displaystyle p 2 参考https terms naer edu tw detail 885376fd9209b23a19cac9205e8e9024 seq 1 存档副本 2023 04 10 原始内容于2023 04 10 存档副本 2023 04 10 原始内容于2023 04 10 存档副本 2023 04 10 原始内容于2023 04 10 存档副本 2023 04 10 原始内容于2023 04 10 存档副本 2023 04 10 原始内容于2023 04 10 完全數 1 因數 因數函數 完全數 PDF mathsgreat com 2022 09 21 原始内容 PDF 于2023 03 09 Weisstein Eric W 编 Proper Divisor at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 相關條目因數判別法可參照整除規則 質數 同余 質因數 公倍數 最小公倍數 公因數 最大公因數