在幾何學中,五邊形是指有五條邊和五個頂點的多邊形,其內角和為540度。
正五邊形 | |
---|---|
![]() 一個正五邊形 | |
類型 | 正多邊形 |
對偶 | 正五邊形(本身) |
邊 | 5 |
頂點 | 5 |
對角線 | 5 |
施萊夫利符號 | {5} |
對稱群 | 二面體群 (D5), order 2×5 |
面積 | |
內角(度) | 108° |
內角和 | 540° |
特性 | 凸、(圓內接多邊形)、(等邊多邊形)、(等角多邊形)、等邊圖形 |
五邊形可以分為凸五邊形和非凸五邊形,其中非凸五邊形包含了凹五邊形和另一種邊自我相交的五角星。最簡單的五角星可藉由將正五邊形的對角線連起來構成。
正五邊形
正五邊形是指五個邊等長且五個角等角的五邊形,其內角為108度,是一種正多邊形,在施萊夫利符號中可以用來表示。
正五邊形的中心角為72度,其具有五個對稱軸,其(旋轉對稱性)有5個階(72°、144°、216° 和 288°)。
- 高
邊長
邊長
- 寬
邊長
邊長
- 對角線長
其中為(外接圓)半徑。
邊長為的正凸五邊形面積可以將之分割成5個等腰三角形計算:
正五邊形不能鑲嵌平面,因為其內角是108°,不能整除360°。截至2015年
[update],2017年5月,(里昂高等师范学校)Michaël Rao宣称已证明只存在15种凸五边形鑲嵌平面情况。。面積公式推導
其中,是(周長)、
是(邊心距)。正五邊形的
和
可由三角函數計算:
其中,是正五邊形的邊長。
內切圓半徑
正五邊形是一個圓(外切)多邊形,因此有(內切圓)。其內切圓半徑與(邊心距)相同,並且可以尤其邊長來決定。
其中,為內切圓半徑與(邊心距)相同、t為正五邊形邊長。
構造
里士滿提出了一個構造正五邊形的方法,並且在克倫威爾的《多面體》中被進一步討論。。
右上的圖顯示了里士滿繪製正五邊形的方法。先利用單位圓決定五邊形的半徑。為單位圓圓心,
是圓
半徑的中點。
是位於垂直於
的另外一條半徑的圓周上。作
的角平分線,令
為
的角平分線與
的交點。作過
平行於
的直線,令之與圓
相交的交點為
,則
為正五邊形的邊長。
這條邊的長度可以利用圓下方的兩個直角三角形和
。利用勾股定理,較大的三角形斜邊為
。小三角形其中一股h可由(半角公式)求得:
其中,角可由大三角形求得,其值為:
由此可得到在下圖正五邊形的邊長的一些相關值。右側三角形的邊長可藉由再帶一次勾股定理得:
欲求出五邊形邊長可透過左側的三角形,由勾股定理得:
![image](https://www.wiki2.zh-cn.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraTIuemgtY24ubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHpMek15TDFKbFozVnNZWEpmVUdWdWRHRm5iMjVmU1c1elkzSnBZbVZrWDJsdVgyRmZRMmx5WTJ4bFh6STBNSEI0TG1kcFppOHhOakZ3ZUMxU1pXZDFiR0Z5WDFCbGJuUmhaMjl1WDBsdWMyTnlhV0psWkY5cGJsOWhYME5wY21Oc1pWOHlOREJ3ZUM1bmFXWT0uZ2lm.gif)
五邊形邊長為:
得到了正確的結果因此此種構造正五邊形的方法是有效的。
約西元前300年,欧几里得在他的《(几何原本)》中描述了一个用直尺和圆规做出正五边形的过程。
物理方法
![image](https://www.wiki2.zh-cn.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraTIuemgtY24ubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelJtTDA5MlpYSm9ZVzVrTFdadmJHUmxaQzF5YVdKaWIyNHRjR1Z1ZEdGbmIyNHVjM1puTHpnd2NIZ3RUM1psY21oaGJtUXRabTlzWkdWa0xYSnBZbUp2Ymkxd1pXNTBZV2R2Ymk1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
正五邊形可以藉由嘗試在一張長條紙張上打一個反手結,並將多出來的部分向後折來構造。這種折法被用在摺紙星星上。
等邊五邊形
![image](https://www.wiki2.zh-cn.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraTIuemgtY24ubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHdMekEyTDBWeGRXbHNZWFJsY21Gc1gzQmxiblJoWjI5dUxUTXdMVGt3TG5CdVp5ODRNSEI0TFVWeGRXbHNZWFJsY21Gc1gzQmxiblJoWjI5dUxUTXdMVGt3TG5CdVp3PT0ucG5n.png)
等邊五邊形是指五條邊等長的五邊形。等邊五邊形不一定是正五邊形。由於其內角可以取自一個範圍內的集合,而形成一個等邊五邊形的群,相比之下,正五邊形由於其內角也固定了,因此是唯一的。
有兩個直角的等邊五邊形由於外形與有屋頂的房屋形狀非常相似,因此通常用作房子的符號。
五邊形鑲嵌
五邊形鑲嵌是指用全等的五邊形沒有空隙地填滿整個平面的(鑲嵌)圖形。2017年5月,(里昂高等师范学校)Michaël Rao宣称已证明只存在15种凸五边形鑲嵌平面情况。
![image](https://www.wiki2.zh-cn.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraTIuemgtY24ubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelEwTDFCbGJuUmhaMjl1Vkdsc2FXNW5jekUxTG5OMlp5ODBOVEJ3ZUMxUVpXNTBZV2R2YmxScGJHbHVaM014TlM1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
扭歪五邊形
![image](https://www.wiki2.zh-cn.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraTIuemgtY24ubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemd3TDFOclpYZGZVR1Z1ZEdGbmIyNWZhVzVmVUdWdWRHRmphRzl5YjI0dWNHNW5Mekl5TUhCNExWTnJaWGRmVUdWdWRHRm5iMjVmYVc1ZlVHVnVkR0ZqYUc5eWIyNHVjRzVuLnBuZw==.png)
扭歪五邊形,又稱不(共面)五邊形,是指頂點並非完全(共面)的五邊形。
皮特里多邊形
一些高維度多胞體的(皮特里多邊形)是扭歪五邊形,例如(四維)正五胞體。
類五邊形形
類五邊形形是五邊形在其他維度的類比,只存在於(四維)或以下的空間。這些形狀都具有Hn的(考克斯特群),其中正五邊形為H2,階數為10。
維度 | 二維 | 三維 | 四維 |
---|---|---|---|
(類五邊形形) | ![]() | ![]() | ![]() |
對偶 | ![]() | ![]() | ![]() |
由五邊形組成的多面體
有一些多面體由五邊形構成,最常見的就是正十二面體,是一個由正五邊形組成的正多面體。
Ih | Th | Td | O | I | D5d |
---|---|---|---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
正十二面體 | (五角三四面體) | (五角二十四面體) | (五角六十面體) | 截對角五方偏方面體 |
参考文献
- Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane (PDF). [2019-07-29]. (原始内容 (PDF)于2020-11-12).
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- Peter R. Cromwell. Polyhedra. : 63 [2016-08-28]. . (原始内容于2020-10-03).
- This result agrees with Herbert Edwin Hawkes; William Arthur Luby; Frank Charles Touton. Exercise 175. Plane geometry. Ginn & Co. 1920: 302 [2016-08-28]. (原始内容于2014-01-01).
- H.S.M. Coxeter , 3rd edition, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, [1] (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
- Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. . (Table I(ii): 16 regular polytopes {p, q, r} in four dimensions, pp. 292–293)
参见
- (五邊形鑲嵌)
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