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單位元(unit element)也称恒等元(identity element)、中立元(neutral element)、恒元,是集合裏的一種特殊元素,與該集合裏的二元運算有關。單位元和其他元素結合時,並不會改變那些元素。單位元在群和其他相關概念中都有使用。
設為一帶有一二元運算的集合(稱為原群)。若內有一元素對S內所有元素a满足,則被稱為左單位元;若满足,则稱為右單位元。而若同時為左單位元及右單位元,則稱為雙邊單位元,又簡稱為單位元。
對應加法的單位元稱為加法單位元(通常被標為0),而對應乘法的單位元則稱為乘法單位元(通常被標為1)。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上,比如環。
例子
集合 運算 單位元 實數 +(加法) 0 實數 ·(乘法) 1 實數 ((乘方))
1(只為右單位元) 複數 +(加法) 0 複數 ·(乘法) 1 矩陣 +(加法) (零矩陣) 方陣 ·(乘法) 單位矩陣 所有從集合M映射至其自身的函數 (函數複合)
(單位函數) 所有從集合M映射至其自身的函數 (摺積)
((狄拉克δ函數))
(字串) (串接) (空字元串) (擴展的實數軸) 最大值 (擴展的實數軸) 最小值 集合M的子集 (交集)
M 集合 (聯集)
(空集)
(布爾邏輯) ((邏輯與))
⊤(真值) (布爾邏輯) ((邏輯或))
⊥(假值) (閉二維流形) #((連通和)) 只兩個元素 * 定義為 且
和
都是左單位元,但不存在右單位元和雙邊單位元
如最後一個例子所示,有多個左單位元是可能的,且事實上,每一個元素都可以是左單位元。同樣地,右單位元也一樣。但若同時存在有右單位元和左單位元,則它們會相同,且仅存在一個雙邊單位元。要證明這個,設為左單位元且
為右單位元,則
。特別的,不存在兩個以上的單位元。若有兩個單位元
和
,則
必同時等於
和
。
一個代數也可能沒有單位元。最常见的例子為向量的內積和(外積)。前者缺乏單位元的原因在於,相乘的兩個元素都會是向量,但乘積卻會是個純量。而外積缺乏單位元的原因則在於,任一非零外積的方向必和相乘的兩個向量相正交,因此不可能得出一個和原向量指向同方向的外積向量。
参考
- 存档副本. [2023-07-19]. (原始内容于2023-07-19).
另見
- (逆元素)
- 加法逆元
- (幺半群)
- (單作)
- (擬群)
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